જો f(x) એ અંતરાલ (0, infty) માં વિકલનીય વિધેય | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) આપેલ લક્ષ: $\mathop {\lim }\limits_{t 	o x} \frac{{{t^2}f(x) - {x^2}f(t)}}{{t - x}} = 1$. $t$ ની સાપેક્ષમાં $L$'Hopital નો નિયમ વાપરતા: $\mathop

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{31}{18}$

Vedclass · Answer

(D) આપેલ લક્ષ: $\mathop {\lim }\limits_{t 	o x} \frac{{{t^2}f(x) - {x^2}f(t)}}{{t - x}} = 1$. $t$ ની સાપેક્ષમાં $L$'Hopital નો નિયમ વાપરતા: $\mathop {\lim }\limits_{t 	o x} \frac{2t f(x) - x^2 f'(t)}{1} = 1$. $t = x$ મૂકતા,આપણને વિકલ સમીકરણ મળે છે: $2x f(x) - x^2 f'(x) = 1$. ગોઠવતા: $f'(x) - \frac{2}{x} f(x) = -\frac{1}{x^2}$. આ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = -\frac{2}{x}$ અને $Q(x) = -\frac{1}{x^2}$. સંકલ્યકારક અવયવ $I.F. = e^{\int -\frac{2}{x} dx} = e^{-2 \ln x} = \frac{1}{x^2}$. $I.F.$ વડે ગુણતા: $\frac{d}{dx} [f(x) \cdot \frac{1}{x^2}] = -\frac{1}{x^4}$. બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\frac{f(x)}{x^2} = \int -x^{-4} dx = \frac{1}{3x^3} + C$. તેથી,$f(x) = \frac{1}{3x} + Cx^2$. $f(1) = 1$ નો ઉપયોગ કરતા: $1 = \frac{1}{3} + C \implies C = \frac{2}{3}$. આમ,$f(x) = \frac{1}{3x} + \frac{2x^2}{3}$. $x = \frac{3}{2}$ માટે: $f(\frac{3}{2}) = \frac{1}{3(3/2)} + \frac{2(3/2)^2}{3} = \frac{2}{9} + \frac{2}{3} \cdot \frac{9}{4} = \frac{2}{9} + \frac{3}{2} = \frac{4 + 27}{18} = \frac{31}{18}$.

Similar Questions

વિકલ સમીકરણ $\sqrt{1-y^2} dx + x dy - \sin^{-1} y dy = 0$ નો ઉકેલ શોધો.

રેખીય વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ માટે સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) શું છે?

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx}(x \log x) + y = 2 \log x$ નો સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) શોધો.

ધારો કે $f: [1, \infty) \to \mathbb{R}$ એ એક વિકલનીય વિધેય છે જે $f(x) = \int_1^x f(t) \, dt + (1 - x)(\log_e x - 1) + e$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે. તો $f(f(1))$ નું મૂલ્ય શોધો:

ધારો કે $f: [1, \infty) \rightarrow R$ એક વિકલનીય વિધેય છે જેથી $f(1) = \frac{1}{3}$ અને $3 \int_1^x f(t) dt = x f(x) - \frac{x^3}{3}$,$x \in [1, \infty)$ માટે. તો $f(e)$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module